Sammlung von Begriffserklärungen die für die Berechnung von Prüfziffern und -summen relevant sind.
Im Zusammenhang mit Prüfziffern, die Zahl über die die Prüfziffer berechnet wird.
Kurzform für Binary Digit
, die kleinstmögliche Dateneinheit. Sie kann entweder 1 oder 0 betragen.
Grundoperationen die zwischen zwei Bitfolgen vorghenommen werden können. Bei den Operationen wird jedes Bit mit dem korrepondierenden Bit der anderen Bitfolge verknüpft. Dabei sind drei Verknüpfungsweisen machbar:
Sowohl das Eine als auch das Andere).
Mindestens eines von Beiden).
Nur Eines von Beiden). Mathematisch gesehen handelt es sich um eine »modulo 2 Addition«.
∧ | ∨ | ⊕ | |
---|---|---|---|
1. Bitfolge | 0101 | 0101 | 0101 |
2. Bitfolge | 0011 | 0011 | 0011 |
Ergebnis | 0001 | 0111 | 0110 |
Die XOR-Verknüpfung ist eine der zentralen Methoden bei vielen Verschlüsselungsarten. Beim Vernam-Code kann sie als einziger Schritt zu einer nachweisbar sicheren Verschlüsselung eingesetzt werden, da der Angreifer — sofern der Schlüssel aus echten Zufallszahlen bestand — alle möglichen Varianten durchprobieren muß. Die Entschlüsselung erfolgt durch erneutes XOR-Verknüpfen von Chiffre und Schlüssel, denn es gilt:
(x ⊕ y) ⊕ y = x
Achtbitige Repräsentation eines Zeichens im Computer. Diese Festlegung erfolgte aus der praktischen Erwägung an Hand der Menge der darzustellenden Zeichen (Alphabet, Zahlen, Steuerzeichen), ist jedoch nicht zwingend. Es ist problemlos möglich Rechner zu konstruieren die eine andere Bitzahl je Byte verwenden. Wären die Computer zuerst in China mit seinen rd. 100.000 Schriftzeichen entwickelt worden, bestünde heute ein Byte aus vielleicht mindestens 16 Bit, wenn nicht sogar aus noch mehr. Daher werden in heutigen Systemen die Zeichen dieser Sprachen mit jeweils zwei Byte (zu je 8 Bit) pro Zeichen dargestellt.
Multiplikation einer oder mehrerer Stellen einer Ziffernfolge mit gleichen oder unterschiedlichen Werten.
Bestimmung des ganzzahligen Restes bei einer Division.
Bsp.: 32 mod 11 = 10, da 32 ÷ 11 = 2 Rest 10
Ein Gruppe von vier Bits wird als Nibble bezeichnet. Somit besteht ein Byte aus zwei Nibbles.
Die Quersumme wird durch Addition der Zahlenwerte aller Ziffern einer oder mehrerer Zahlen berechnet.
Bsp.: Quersumme von 105 und 67 ist 1 + 0 + 5 + 6 + 7 = 19, nicht etwa 172.
Die alternierende Quersumme ist die Differenz aus den gesondert berechneten Summen der Ziffern an geraden und ungeraden Stellen.
Bsp.: Alternierende Quersumme von 9296969 = (9 + 9 + 9 + 9) - (2 + 6 + 6) = 36 - 14 = 22
#!/usr/bin/env python3.2 # -*- coding: utf-8 -*- # # Varianten zur Quersummenberechnung: # Zahl als string, Rückgabewert int. def Quersumme(Zahl): Zahl = int(Zahl) qs = 0 while Zahl: qs += Zahl % 10 Zahl = Zahl//10 return qs def Quersumme(Zahl): return sum([int(i) for i in Zahl])
Irrtümlicherweise wird oft angenommen, daß Quersummen einstellig sein müssen, dies entspricht aber nicht der Definition der Quersumme. Wohl von dieser Aussage ausgehend, wird ebenfalls öfters behauptet, die Quersumme einer Zahl entspricht dem Rest bei einer Division durch Neun, außer der Rest ist Null, dann ist die Quersumme 9. Auch diese Aussage ist so nicht richtig, wie sich leicht nachprüfen läßt:
Quersumme von 12489 = 24
aber 12489 ÷ 9 = 1387 Rest 6
⇒ 24 ≠ 6
Neunerprobe: Jede Zahl läßt bei der Division durch 9 (modulo 9) den gleichen Rest wie ihre einstellige Quersumme
Neben den hier beschriebenen Anwendungen findet die Quersumme noch Verwendung in einer Scharlatanerie: Der Numerologie. Zunächst wird jedem Buchstaben eines Wortes ein Wert zugeordnet, dann bei der modernen Form der Numerologie die Summe errechnet und davon die einstellige Quersumme (auf numerologisch die Ziffer
) gebildet, sofern die Summe keine Meisterzahl (11, 22) ist. Das Resultat wird dann mystisch interpretiert.
Wert | Buchstabe |
---|---|
1 | A, J, S |
2 | B, K, T |
3 | C, L, U |
4 | D, M, V |
5 | E, N, W |
6 | F, O, X |
7 | G, P, Y |
8 | H, Q, Z |
9 | I, R |
Bsp.: Unfug ⇒ 35637 = 24 ⇒ 6
Auch muß die Quersumme gerne als numerologische Bestätigungsrechnung
herhalten, was sich dann typischerweise so liest:
4 × 9 = 36 = 3 + 6 = 9
5 × 9 = 45 = 4 + 5 = 9
Erst wird also ein Vielfaches von neun berechnet, um dann mittels Quersumme/Neunerprobe zu beweisen, daß das Produkt durch neun teilbar ist. Für jeden Numerologen ist dies immer wieder ein Höhepunkt in seinem Dasein.
Im normalen Leben wächst der Mensch in seiner Kultur mit dem dort verwendeten Zahlensystem auf und kommt in der Regel nicht auf Gedanken, daß es noch andere Zahlensysteme mit einem eigenen Vorrat an Elementarzahlen geben könnte. So verwendet jeder von uns heute das Dezimalsystem ohne sich Gedanken darüber zu machen, daß dies auch bei uns nicht immer so war. Erst der Umgang mit Geschichte oder Computern erinnert uns daran, daß das Dezimalsystem nur ein Zahlensystem von vielen ist und auch nicht unbedingt das in jedem Falle Beste. Computer kennen nur Zustände wie AN/AUS, Wahr/Falsch usw. Durch Zahlen läßt sich dies mit 1 und 0 darstellen, was eben diesem Zahlensystem den Namen Binärsystem oder Dualsystem eingebracht hat. Alle Zahlen im täglichen Leben durch Binärzahlen ausdrücken zu wollen, wäre zwar möglich, aber auch äußerst unhandlich und unübersichtlich, da eben auch schon kleinere Zahlen recht lang werden können. Eine Buslinie mit der Nummer 148 müßte dann mit 10010100 benannt werden. Dies ist fehlerträchtig, da Mensch nicht in der Lage ist schnell längere Zeichenfolgen ohne weiteres als Bild zu erfassen und zu erinnern. Da Computer nun aber nur mit dem Binärsystem arbeiten, es gleichzeitig aber umständlich ist, Binär- und Dezimalzahlen ineinander umzurechnen und Programmierer auch nur Menschen sind, wird an dieser Stelle auf das Hexdezimalsystem zurückgegriffen. Auch große Zahlen lassen sich damit bequem und kurz niederschreiben und erinnern. Gleichzeitig ist die Umrechnung vom Hexadezimalsystem ins Binärsystem einfach zu handhaben, da die heutige Programmierung mit Bytes zu 8-Bit arbeitet.
Zahlen des Zahlensystems zur Basis 2, d.h. nur bestehend aus den Elementarzahlen 0 und 1. Jede Stelle einer Binärzahl entspricht einer Potenz von 2.
Merke:
Es gibt genau 10 Arten von Menschen:
Die, die das Binärsystem verstanden haben und die,
die es nicht verstanden haben.
Konvertierung von Binär- zu Dezimalzahlen:
2x | Multiplikation | Ergebnis |
---|---|---|
20 | 0 × 1 | 0 |
21 | 0 × 2 | 0 |
22 | 1 × 4 | 4 |
23 | 0 × 8 | 0 |
24 | 1 × 16 | 16 |
25 | 0 × 32 | 0 |
26 | 1 × 64 | 64 |
27 | 1 × 128 | 128 |
Summe | 212 | |
212 |
Konvertierung von Dezimal- zu Binärzahlen:
212 ÷ 2 | 106 Rest 0 | 0 |
106 ÷ 2 | 53 Rest 0 | 0 |
53 ÷ 2 | 26 Rest 1 | 1 |
26 ÷ 2 | 13 Rest 0 | 0 |
13 ÷ 2 | 6 Rest 1 | 1 |
6 ÷ 2 | 3 Rest 0 | 0 |
3 ÷ 2 | 1 Rest 1 | 1 |
1 ÷ 2 | 0 Rest 1 | 1 |
1101 0100 |
Zahlen des Zahlensystems zur Basis 16. Da die im Dezimalsystem zur Verfügung stehenden Ziffern 0-9 für die Zahlendarstellung in einem 16er-System nicht ausreichen, werden die Buchstaben A-F zur Repräsentation der Dezimalzahlen 10-15 hinzugezogen. Somit stehen jetzt die Elementarziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F für Rechenoperationen zur Verfügung.
Dez | Bin | Okt | Hex |
---|---|---|---|
0 | 0000 0000 | 0 | 0 |
1 | 0000 0001 | 1 | 1 |
2 | 0000 0010 | 2 | 2 |
3 | 0000 0011 | 3 | 3 |
4 | 0000 0100 | 4 | 4 |
5 | 0000 0101 | 5 | 5 |
6 | 0000 0110 | 6 | 6 |
7 | 0000 0111 | 7 | 7 |
8 | 0000 1000 | 10 | 8 |
9 | 0000 1001 | 11 | 9 |
10 | 0000 1010 | 12 | A |
11 | 0000 1011 | 13 | B |
12 | 0000 1100 | 14 | C |
13 | 0000 1101 | 15 | D |
14 | 0000 1110 | 16 | E |
15 | 0000 1111 | 17 | F |
Dez | Bin | Okt | Hex |
---|---|---|---|
16 | 0001 0000 | 20 | 10 |
20 | 0001 0100 | 24 | 14 |
30 | 0001 1110 | 36 | 1E |
40 | 0010 1000 | 50 | 28 |
50 | 0011 0010 | 62 | 32 |
60 | 0011 1100 | 74 | 3C |
70 | 0100 0110 | 106 | 46 |
80 | 0101 0000 | 120 | 50 |
90 | 0101 1010 | 132 | 5A |
100 | 0110 0100 | 144 | 64 |
255 | 1111 1111 | 377 | FF |
Um Verwechslungen zu vermeiden werden Hexadezimalzahlen durch ein vorangestelltes Präfix gekennzeichnet. Durchgesetzt hat sich hierfür das in der Programmiersprache C verwendere 0x, dennoch findet man auch bei manchen Systemen und Autoren h oder $. Auf kommerziellen Podukten wird oft gar kein Präfix aufgedruckt, was solange kein Problem ist, wie einer der Buchstaben A-F in der Zahl enthalten ist. Darüberhinaus werden Hexadezimalzahlen oft in Zweizifferblöcken, d.h. Byteweise, gegliedert um die Lesbarkeit zu erhöhen:
Dezimal | Hexadezimal |
---|---|
1 | 0x 01 |
50 | 0x 32 |
255 | 0x FF |
10.000 | 0x 01 86 A0 |
Konvertierung von Binärzahlen zu Hexadezimalzahlen:
Nibbles) gegliedert
Nibble | Dez | Hex |
---|---|---|
1101 | 13 | D |
0100 | 4 | 4 |
0xD4 |
Zahlen des Zahlensystems zur Basis 8, dargestellt mit den Elementarziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Der Zusammenhang der Oktalzahlen mit den anderen Zahlensystemen wird am besten aus der Tabelle bei den Hexadezimalzahlen ersichtlich.
Oktalzahlen werden bspw. häufig benutzt um die Zugriffsrechte einer Datei unter UNIX übersichtlich darzustellen.
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